絶対値とは？意味と計算方法・記号の外し方をわかりやすく解説

2026年1月4日 2026年6月24日

暮らしの答え図書館司書

数学の授業で突然登場する「| |」という記号。「マイナスを取るだけ」と思っていたら、文字式が出てきた途端に意味がわからなくなった、という経験がある人は多いはずです。

この記事では、絶対値の根本的な意味から、計算のルール、文字式での記号の外し方まで順番に解説します。

絶対値とは何か

絶対値とは、数直線上でその数が原点（0）からどれだけ離れているかを表す距離のことです。

「距離」なので、方向（プラスかマイナスか）は関係ありません。右に5進んでも、左に5進んでも、原点からの距離は同じ「5」です。これが絶対値の本質です。

日常の言葉に置き換えると、「駅から家までの距離がマイナス500mです」とは言いません。離れている長さは常に正の数（0以上の数）になります。数学でも同じで、絶対値は必ず0以上になります。

具体的な例

数値	絶対値	意味
5	5	0から右に5離れている
-3	3	0から左に3離れている
0	0	0からの距離は0
-1.5	1.5	0から左に1.5離れている

記号では |5| = 5、|-3| = 3、|0| = 0 と表します。

絶対値記号の外し方

絶対値の計算で最も重要なのが、「| |」を外すときのルールです。具体的な数字なら直感的にわかりますが、文字式になると少し注意が必要です。

基本ルール：中身の符号で場合分けする

中身が0以上のとき：そのまま外す

|a| = a　（a ≧ 0 のとき）

例：a = 5 なら |5| = 5

中身が負のとき：マイナスをつけて外す

|a| = -a　（a < 0 のとき）

例：a = -5 なら |-5| = -(-5) = 5

「負のときにマイナスをつける」理由

「絶対値なのにマイナスをつけるのはおかしい」と混乱する人がよくいます。これは「マイナスをつけること」が目的なのではなく、「負の数を正に変えるため」にマイナスをかけているのです。

a = -5 のとき、|-5| は5でなければなりません。-(-5) = 5 となるので、「中身がマイナスのときは -a と書く」というルールになっています。

「-aはマイナスの数」というわけではなく、「aがマイナスならば -a はプラスになる」という関係を表しています。

2点間の距離と絶対値

絶対値は原点からの距離だけでなく、数直線上の2点間の距離を求める時にも使います。

数直線上の2点 A(a) と B(b) の間の距離は次の式で求められます。

距離 AB = |b - a|

絶対値があるので、どちらから引いても同じ結果になります。

例：3と8の距離
- |8 - 3| = |5| = 5
- |3 - 8| = |-5| = 5

どちらも5になります。引く順番を気にせず計算できるのが絶対値の便利な点です。

絶対値を含む方程式の解き方

絶対値が含まれる方程式は、「場合分け」で解きます。

例：|x - 2| = 3 を解く

「x - 2 という値が、0から3離れている」と考えます。3離れているのは +3 と -3 の2通りなので：

x - 2 = 3 → x = 5
x - 2 = -3 → x = -1

答え：x = 5, -1

これを確認するために元の式に代入してみましょう。

x = 5 のとき：|5 - 2| = |3| = 3 ✓
x = -1 のとき：|-1 - 2| = |-3| = 3 ✓

どちらも正しいことが確認できます。

絶対値の不等式の考え方

|x| < 3 のような不等式も、同じ「距離」のイメージで考えると解きやすくなります。

「xが原点から3より近い場所にある」ということなので、xは -3 より大きく 3 より小さい範囲にあります。

|x| < 3 → -3 < x < 3

逆に |x| > 3 なら「原点から3より遠い場所」なので：

|x| > 3 → x < -3 または x > 3

よくある質問

Q. 絶対値がマイナスになることはありますか？
絶対値は「距離」を表すため、結果が負になることは絶対にありません。計算結果がマイナスになった場合は、どこかで符号のミスをしています。

Q. |a²| = a² は常に正しいですか？
はい。a² はどんな実数 a に対しても必ず0以上になるため、|a²| = a² は常に成立します。

Q. |a + b| = |a| + |b| は常に成立しますか？
常には成立しません。これは「三角不等式」と呼ばれ、|a + b| ≦ |a| + |b|（等号は a と b が同符号の時）が正しい関係です。例えば a = 3, b = -3 のとき、|3 + (-3)| = 0 ですが、|3| + |-3| = 6 です。

Q. 絶対値は実際にどんな場面で使われますか？
誤差の計算、統計での偏差、プログラミングでの差の計算など幅広い場面で使われます。「プラスかマイナスかに関係なく、大きさだけを見たい」という場面全般で活躍します。

Q. マイナスの数の絶対値を計算する手順は？
|-7| の場合は単純に7になります。文字式で a < 0 の場合は |a| = -a と書きますが、これは「aをマイナスにする」のではなく「負のaをひっくり返して正にする」操作です。