結論：正しい日本語は「すみません」です。「すいません」は書き言葉ではNGです。
なぜ「すみません」が正解か
「すみません」は動詞「済む」に丁寧語「ます」と打ち消しの「ん（ぬ）」がついた言葉です。語源は「（謝らないと）私の気が済みません」。
一方「すいません」は「すみません」を発音しやすく崩した口語（話し言葉）です。「み（mi）＋ま（ma）」を続けて言うのが面倒で「い（i）」に変化したもので、正式な日本語ではありません（「体育」を「たいく」と言うのと同じ音変化）。
シーン別の使い分け
| シーン | すみません | すいません |
|---|---|---|
| メール・文書 | (○) | 絶対NG |
| 会話（上司・取引先） | △（軽い謝罪なら可） | 避けるべき |
| 会話（同僚・部下） | (○) | (○) |
| 居酒屋で店員を呼ぶ | (○) | (○) |
ビジネスメールで「返信が遅れてすいません」と書くと、「ごめんね（タメ口）」に近いニュアンスを与えるリスクがあります。文字に残る媒体では必ず「すみません」を使い、重大なミスには「申し訳ございません」を使いましょう。
「すみません」の3つの意味と言い換え
「すみません」は謝罪以外にも使われますが、ビジネスでは軽く見られがちです。
謝罪（ごめんなさい）：「申し訳ございません」「お詫び申し上げます」に言い換える
重大なミスに「すみません」は軽すぎます。
感謝（ありがとう）：「ありがとうございます」「恐れ入ります」に言い換える
何かしてもらった時は「すみません」より「ありがとうございます」の方が好印象です。
依頼（ちょっといいですか）：「恐れ入りますが」「失礼いたします」に言い換える
クッション言葉として使う場合です。
まとめ
- 正しい日本語は「すみません」（「済む」が語源）
- 「すいません」は口語・話し言葉で、メールや書き言葉では使わない
- 重大な謝罪は「申し訳ございません」が最も安全
- 感謝の場面では「すみません」より「ありがとうございます」を使う方が好印象
